LDK 158: Irracionalidade da raíz de 2

A raíz de 2 é un número irracional, é dicir, non se pode escribir como fracción doutros dous números. Como se pode demostrar iso? Pois mediante un método de redución ao absurdo: 

Para comezar, se un número non é irracional, ten que ser racional, é dicir, podémolo escribir mediante fraccións de outros dous números. Estes dous números van ser primos entre si, ou o que é o mesmo, o seu único divisor común é o 1 (se tiveran algún divisor común, poderiámolos simplificar ata chegar a este punto).

Elevamos ao cadrado ambas as dúas partes e despexamos, co que nos queda:

Con isto obtemos que p² ten que ser par e, por tanto, p tamén ten que selo (lembremos, ao multiplicar un par por un par, danos un par; e ao multiplicar un impar por un impar, danos impar), co que podemos afirmar que p é par, e por tanto, p = 2k. Substituímos e eliminamos o cadrado:

Agora chega a conclusión: ao comezo supuxéramos que p e q non tiñan factores en común. A acabamos de demostrar que os dous son pares e múltiplos de 2, polo que, polo menos, o 2 é o m.c.d. (máximo común divisor) de p e q e, por tanto, chegamos a unha contradición que nos demostra que a raíz de 2 é irracional.

Vía e imaxes: Gaussianos.