A combinatoria é unha rama das matemáticas que estuda as diferentes posibilidades de combinación de dous conxuntos finitos, dados unha serie de criterios e tendo en conta a posibilidade da repetición dos obxectos e a relevancia ou non da súa orde específica.
Dacordo aos criterios específicos, distinguimos tres tipos de relación combinatoria: permutacións, variacións e combinacións. Cada unha destas relacións pode, ou non, ter repeticións.
As permutacións ou ordenacións calculan cantos posibles ordeamentos diferentes teñen un número X de elementos.
As permutacións sen repetición prodúcense cando os elementos a ordear son todos diferentes. Un exemplo de permutación sen repetición é o calculo de cantos resultados (ordeamentos) posibles terá unha carreira na que participan oito corredores.
O número de posibilidades dunha permutación sen repeticións de n elementos é igual ao factorial de n
As permutacións con repetición prodúcense cando algúns dos elementos a ordear son iguais, é dicir, cando podemos facer conxuntos cos elementos a ordear. Un exemplo de permutación con repetición é calcular cantos ordeamentos diferentes podemos ver se temos un bote con 5 bolas, das cales 3 son brancas e 2 son negras.
O número de posibilidades dunha permutación con repeticións de n elementos, formando subconxuntos de a, b, c elementos de tal modo que (a+b+c+...=n); é igual ao factorial de n partido do factorial dos diferentes subconxuntos
As variacións calculan o numero de posibles ordeamentos que se darán ao coller p elementos de entre un conxunto con n elementos. Obviamente, é obrigatorio que p≤n.
As variacións sen repetición prodúcense cando o conxunto que tomamos non ten elementos repetidos. Unha variación sen repetición de p elementos escollidos entre un conxunto de n elementos calcúlase:
As variacións con repetición prodúcense cando o conxunto que tomamos pode ter elementos repetidos. Unha variación con repetición de p elementos escollidos entre un conxunto de n elementos calcúlase:
Por último, as combinacións permiten coñecer o número total de posibilidades de aparición de elementos que forman parte dun conxunto de n elementos ao tomar p elementos. É semellante a unha variación, mais neste caso non inflúe a orde, senón só a aparición ou non dos elementos.
Nas combinacións sen repetición, non se permite que aparezan elementos repetidos. Un exemplo clásico de uso das combinacións sen repetición é a Primitiva, na que se toman 6 elementos dun conxunto de 49, sen que importe a orde na que aparezan os elementos.
As combinacións sen repetición calcúlanse mediante o uso do número combinatorio ou coeficiente binomial:
Dacordo aos criterios específicos, distinguimos tres tipos de relación combinatoria: permutacións, variacións e combinacións. Cada unha destas relacións pode, ou non, ter repeticións.
As permutacións ou ordenacións calculan cantos posibles ordeamentos diferentes teñen un número X de elementos.
As permutacións sen repetición prodúcense cando os elementos a ordear son todos diferentes. Un exemplo de permutación sen repetición é o calculo de cantos resultados (ordeamentos) posibles terá unha carreira na que participan oito corredores.
O número de posibilidades dunha permutación sen repeticións de n elementos é igual ao factorial de n
(Pn=n!)Polo tanto, unha carreira con 8 corredores terá P8=8!=40320 posibilidades de resultado diferentes.
As permutacións con repetición prodúcense cando algúns dos elementos a ordear son iguais, é dicir, cando podemos facer conxuntos cos elementos a ordear. Un exemplo de permutación con repetición é calcular cantos ordeamentos diferentes podemos ver se temos un bote con 5 bolas, das cales 3 son brancas e 2 son negras.
O número de posibilidades dunha permutación con repeticións de n elementos, formando subconxuntos de a, b, c elementos de tal modo que (a+b+c+...=n); é igual ao factorial de n partido do factorial dos diferentes subconxuntos
(PRna,b,c=n!/a!b!c!)No caso que explicamos arriba, temos un conxunto de 5 bolas, repartidos en 2 conxuntos, un de 3 elementos (bolas brancas) e outro de 2 (bolas negras). Así, temos que a=3, b=2, a+b=n=5. O número de ordeamentos diferentes desta permutación calcularase:
PR52,3= 5!/2!3!=120/2*6=10Polo que haberá só 10 posibilidade de ordeamento diferente, dadas estas premisas.
As variacións calculan o numero de posibles ordeamentos que se darán ao coller p elementos de entre un conxunto con n elementos. Obviamente, é obrigatorio que p≤n.
As variacións sen repetición prodúcense cando o conxunto que tomamos non ten elementos repetidos. Unha variación sen repetición de p elementos escollidos entre un conxunto de n elementos calcúlase:
Vnp=n!/(n-p)!Por exemplo, se na carreira con 8 corredores que tiñamos antes queremos calcular o número de podios (dos 3 primeiros) diferentes posibles, empregaremos unha variación, na que colleremos p=3 elementos de entre un conxunto de n=8 elementos. As diferentes posibilidades serán:
V83=8!/(8-3)!=40320/120=336Polo que nunha carreira de atletismo con 8 participantes hai, a priori, 336 podios diferentes.
As variacións con repetición prodúcense cando o conxunto que tomamos pode ter elementos repetidos. Unha variación con repetición de p elementos escollidos entre un conxunto de n elementos calcúlase:
VRnp=npSeguindo co atletismo, as variacións con repetición servirían para calcular as diferentes posibilidades de autoría dos p=3 mellores lanzamentos nunha competición, tendo en conta que lanzan n=6 lanzadores, tendo en conta que os 3 mellores lanzamentos puideron ser obra dun único lanzador. Así, empregaremos:
VR63=63=216Polo que haberá 216 posibilidades diferentes.
Por último, as combinacións permiten coñecer o número total de posibilidades de aparición de elementos que forman parte dun conxunto de n elementos ao tomar p elementos. É semellante a unha variación, mais neste caso non inflúe a orde, senón só a aparición ou non dos elementos.
Nas combinacións sen repetición, non se permite que aparezan elementos repetidos. Un exemplo clásico de uso das combinacións sen repetición é a Primitiva, na que se toman 6 elementos dun conxunto de 49, sen que importe a orde na que aparezan os elementos.
As combinacións sen repetición calcúlanse mediante o uso do número combinatorio ou coeficiente binomial:
Cnp=n!/(n-p)!p!Así, o número de diferentes combinacións da primitiva será:
C496=49!/(49-6)!6!=49!/43!6!=13983816Nas combinacións con repetición poden aparecer elementos repetidos. Neste caso queremos saber cantas combinacións de p elementos pode haber, habendo n tipos de elementos diferentes. O cálculo das combinacións con repetición é:
CRnp=(n+p-1)!/(n-1)!p!Un uso desta combinación é o de calcular todas as posibles distribucións de concelleiros por partidos nun concello con p=17 concelleiros e n=4 partidos.
CR417=(4+17-1)!/(4-1)!17!=20!/3!17!=1140 posibilidades
Moi boa entrada!! moi instructiva.
ResponderEliminar