Os sistemas de numeración son moi antigos: antes do noso sistema posicional decimal (indio-arábigo), temos sistemas de numeración en Babilonia, Exipto, ou Roma. O sistema babilónico era posicional e sexaxesimal (base 60), mentres que os sistemas exipcio e romano baséanse nun sistema signo-valor.
Comecemos falando dos diferentes sistemas.
Sistema unario:
Neste sistema temos un único símbolo que é repetido o número de veces necesario para expresar unha cantidade.
Este sistema é o que empregamos para contar puntos rapidamente (4 paíños + raia formando grupos de 5). Pódese ver o seu uso real no Papiro Matemático de Moscú.
Sistema signo-valor:
Este sistema é unha variación do anterior. Neste caso, temos diferentes signos con cadanseu valor, cada signo é repetido un número de veces que expresan a multiplicación do valor. Súmanse as diferentes multiplicacións até chegar ao valor expresado.
Os sistemas exipcio e romano baséanse (con modificacións) neste sistema.
Sistemas de numeración posicionais:
Os sistemas de numeración posicionais baséanse na idea da adscrición dun valor a cada díxito dependendo da súa posición. Explicaremos este sistema baseándonos no sistema decimal, que é co que traballamos máis habitualmente.
O sistema posicional queda definido pola base, que é o total de díxitos diferentes que se empregan. Así, a base 10 ou decimal ten dez díxitos: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
O valor (X) dun díxito nunha posición (n) [contada desde a dereita] nun sistema de numeración posicional é a multiplicación do valor do díxito (d) polo valor da base (b) elevada á posición (n) menos 1.
Así, nun sistema decimal, o 5 de 51 terá o seguinte valor:
Un número como 2806 terá a seguinte explicación:
No caso de aparecer ordes menores que a unidade, as bases multiplícanse por exponente negativo:
Outros sistemas de numeración posicional:
Unha vez entendido como funciona un sistema posicional, podemos variar as bases. Ademais da decimal, hai outras tres bases empregadas habitualmente, a binaria (base 2), a octal (base 8) e hexadecimal (base 16).
A base binaria ten só dous díxitos: {0,1}. Emprégase moi habitualmente en diferentes ámbitos pois permite traballar con dous valores de estímulo: presenza ou ausencia, o que é moi útil nos sistemas informáticos.
Convirtamos, pois, un valor calquera de base binaria a base decimal:
No sistema octal temos 8 valores {0,1,2,3,4,5,6,7}. E no hexadecimal con 16: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}.
As operacións son similares ás dos outros sistemas, variando, iso si, o número base polo que se multiplica o valor do díxito.
Comecemos falando dos diferentes sistemas.
Sistema unario:
Neste sistema temos un único símbolo que é repetido o número de veces necesario para expresar unha cantidade.
Exemplo:
Símbolo: /
/////// = 7
Este sistema é o que empregamos para contar puntos rapidamente (4 paíños + raia formando grupos de 5). Pódese ver o seu uso real no Papiro Matemático de Moscú.
Sistema signo-valor:
Este sistema é unha variación do anterior. Neste caso, temos diferentes signos con cadanseu valor, cada signo é repetido un número de veces que expresan a multiplicación do valor. Súmanse as diferentes multiplicacións até chegar ao valor expresado.
Exemplo:
Símbolos: C =100, X=10, I=1
CCXXXI=231
[CC= 2·100, XXX= 3·10, I= 1·1]
Os sistemas exipcio e romano baséanse (con modificacións) neste sistema.
Sistemas de numeración posicionais:
Os sistemas de numeración posicionais baséanse na idea da adscrición dun valor a cada díxito dependendo da súa posición. Explicaremos este sistema baseándonos no sistema decimal, que é co que traballamos máis habitualmente.
O sistema posicional queda definido pola base, que é o total de díxitos diferentes que se empregan. Así, a base 10 ou decimal ten dez díxitos: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
O valor (X) dun díxito nunha posición (n) [contada desde a dereita] nun sistema de numeración posicional é a multiplicación do valor do díxito (d) polo valor da base (b) elevada á posición (n) menos 1.
Xn= d·b(n-1)
Así, nun sistema decimal, o 5 de 51 terá o seguinte valor:
52= 5·10(2-1)= 5·10 = 50
Un número como 2806 terá a seguinte explicación:
2806= 2·10(4-1)+8·10(3-1)+0·10(2-1)+6·10(1-1)=
2·10³+8·10²+0·10¹+6·10⁰= 2000+800+0+6= 2806
No caso de aparecer ordes menores que a unidade, as bases multiplícanse por exponente negativo:
20,2= 2·10(2-1)+0·10(1-1)+2·10(0-1)=
2·10¹+0·10⁰+2·10-1= 20+0+0,2= 20,2
Outros sistemas de numeración posicional:
Unha vez entendido como funciona un sistema posicional, podemos variar as bases. Ademais da decimal, hai outras tres bases empregadas habitualmente, a binaria (base 2), a octal (base 8) e hexadecimal (base 16).
A base binaria ten só dous díxitos: {0,1}. Emprégase moi habitualmente en diferentes ámbitos pois permite traballar con dous valores de estímulo: presenza ou ausencia, o que é moi útil nos sistemas informáticos.
Convirtamos, pois, un valor calquera de base binaria a base decimal:
10001001= 1·2(8-1)+0·2(7-1)+0·2(6-1)+0·2(5-1)+1·2(4-1)+0·2(3-1)+0·2(2-1)+1·2(1-1)=
1·2⁷+0·2⁶+0·2⁵+0·2⁴+1·2³+0·2²+0·2¹+1·2⁰=
1·128+0·64+0·32+0·16+1·8+0·4+0·2+1·1=
128+0+0+0+8+0+0+1= 137
No sistema octal temos 8 valores {0,1,2,3,4,5,6,7}. E no hexadecimal con 16: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}.
As operacións son similares ás dos outros sistemas, variando, iso si, o número base polo que se multiplica o valor do díxito.
No hay comentarios:
Publicar un comentario